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By Heinz Junek

ISBN-10: 3322847918

ISBN-13: 9783322847911

ISBN-10: 3519002124

ISBN-13: 9783519002123

Dieses Lehrbuch ist eine leicht verständliche und systematische Einführung in die research. Ausgangspunkt ist der Körper der reellen Zahlen, auf dem unter maßgeblicher Verwendung der Ordnungsrelation die klassischen elementaren Funktionen konstruiert werden. Dies entspricht dem Vorgehen in der Schule. Das weitere Eindringen in die research erfordert die größere Flexibilität des Grenzwertbegriffs. Mit diesem device wird in den nachfolgenden Abschnitten in die Theorie der Folgen und Reihen, die Theorie der stetigen Funktionen sowie in die Differential- und Integralrechnung eingeführt. Das Buch schließt mit einem Ausblick auf komplexe Zahlen und komplexe Funktionen. Vielfältige Anwendungen sowie zahlreiche Beispiele, Abbildungen und Aufgaben unterstützen den Leser bei der Aneignung des Stoffes. Lösungshinweise und vollständige Lösungen der Aufgaben komplettieren das Buch.

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B. zur Ermittlung von J2, benutzt. iherungsfolgen (an) und (b n ) von n-stelligen Dezimalbruchen derart, daB a; :::; 2:::; b; und Ibn - anl= lO-n gelten. 415 die die Zahl J2 beschreibt. Eine Variante Fig. 1 als Bolzanos Halbierungsverfahren zur Nullstellenbestimmung kennenlemen. Die Methode der Intervallschachtelungen kann sogar zu einem kompletten Konstruktionsverfahren fUr den Korper R ausgehend von Q ausgebaut werden. ihlt, so gehOrt zu jeder irrationalen Zahl sogar genau eine solche Intervallschachtelung, und man versteht dann einfach unter der zu konstruierenden Irrationalzahl eben diese dezimale Intervallschachtelung.

Folgt filr festes m E n . Aus (1- ~)n . (1- k n-1) . k! k! N* durch Vertauschung von Limes und Summe die Abschiitzung (n) I) m m 1 m ( k -1) k i m 1 (1) n ( 1+~L,=limL 1 - - - ,~limL k~lim 1+- =e. m k=Ok. n~co k=O n k. n~co k=O k n n~co n Also ist e = lim (1 m~co +~) m ~ i: J, ~ e , und das beweist (*). m k=O k. Die Zahl e ist irrational! • Es gilt 2 < e < 3. Angenommen, es wiire e =!!.. -±~=e-±~= q k=ok! k=ok! -(_I_+ k=q+1 k! q! q+1 E 1 (q+I)2 q Die Multiplikation mit q! ergibt nun 0 < p. (q -I)!

Oberdies gilt die Fehlerabschiitzung I x* - xn I :S L n I-q IXI - xol. Beweis: Eindeutigkeit: Angenommen, es gabe zwei Losungen x* :#; x** von g(x) = x. Dann ware Ix· - x··I= Ig(x·) - g(x·· )I:S q ·Ix· - x··I< Ix· - x··I. Widerspruch! Existenz: Wir bilden die Folge (xn) nach der im Satz angegebenen Vorschrift. Dann ist IXn+1 - xnl= Ig(x n ) - g(xn-I )I:s q'lx n - xn_d:S q2 lxn_1 - x n_21:s .. 7. Also ist (x n) eine Cauchy-Folge. Es sei x* = lim xn . Da I ein abgeschlossenes Intervall ist, gilt auch x* E I.

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Analysis: Funktionen — Folgen — Reihen by Heinz Junek


by David
4.1

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